如图,边长为4的正方形,以一个顶点为圆心、4为半径作一个1/4圆的扇形,以一条边为直径作一个半圆,扇形和半圆形交错部分即阴影部分,求阴影部分的面积

admin 2022-09-29 PM 1510℃ 0条

有一道题:如图,边长为4的正方形,以一个顶点为圆心、4为半径作一个1/4圆的扇形,以一条边为直径作一个半圆,扇形和半圆形交错部分即阴影部分,求阴影部分的面积。

有意思的是,有人断言该题无初等解法,之后果然有人给出了定积分法。
实际上,本题实实在有一个初等方法,就是人们司空见惯了的割补法。具体算式是:

  ️   (1/2) ×2arctan2×(1/2) ×2arctan(1/2) ×16-8,
  ️ 2π+12arctan(1/2)-8 .
  一般地,设正方形边长为2d,那么
  S阴影=S1+S2-2S3,
  以下分别计算S1,S2,S3,从而可得
  S阴影=(1/2)(d^2)[π+6arctan(1/2)-4],
  而π+6arctan(1/2)-4≈1.92347825,
  ∴S阴影=(1/2)(d^2) ×1.92347825,
  这是一个很俏皮的公式!
  当2d=4,即d=2,
  S阴影=2×1.92347825=3.8469565.

令人扑朔迷离的是,此题总是被称为“小学奥数题”,似乎存在一个小学生能用的无比机智、相当巧妙的方法,可是现实是残酷的,人们连初等方法都难以找到,谈何小学生的方法。于是,奥数神秘,数学神秘的结论不期而至,应运而生。人们甚至期冀神灵给我以智慧,能一举解之。

此题被炒得沸沸扬扬並非今天。据报道,2000年左左,有一叫“哈哈”的网友,自诩数学是强项,高考时差点得满分,他也花了一天一夜才答出这道题。“我发给我许多同窗,他们看了半天,最后动用专业的工程制图软件,千计万算才量出这块面积”。

动用专业工程制图软件在方格纸上准确画图,再数格子的个数,就能数出面积来。这正是小学数学教材里所要求的所谓的“粗估法”。从这个意义讲,把此题归于“小学奥数题”也是勉强可以的。

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