求出了所有维度的半球的通解。- yuange

admin 2022-10-25 PM 91℃ 0条

p(m,n)
=s(m-1,n-1)/2^(n-1)
=1/2^(n-1) ΣC(n-1,k) ,k从0到m-1求和。
C(n,k)=n!/((n-k)!k!),组合公式,其中特别的:
C(n,0)=1,
k>n,C(n,k)=0。

p(1,n)=1/2^(n-1)
p(2,n)=(1+n-1)/2^n=n/2^(n-1)
p(3,n)
=(1+(n-1)+(n-1)(n-2)/2!)/2^(n-1)
=(1/2(n^2-n+2))/2^(n-1)
=(n^2-n+2)/2^n

圆里更一般性的圆弧的通解:
圆里随机n个点,都在q*2π幅度的圆弧里的概率:

p(n,q)=

n*q^(n-1) . 0<=q<=1/2,

2q^(n-1)-(1/2)^(n-1)+(n-1)(3/2-2q)q^(n-2)-q^(n-2))+(n-1)(n-2)(1-q)(q-1/2)q^(n-3). 1/2<=q<=3/4,

q^(n-1)+(3/2-q)^(n-1)-(1/2)^(n-1)+(n-1)(1-q)(q^(n-2)-(3/2-q)^(n-2))+(n-1)(n-2)(1-q)^2*q^(n-3), 3/4<=q<=1。

q>1/2 还有点复杂,前面这个还弄错了。其实这时候老老实实的根据q大小分段,然后该积分的积分就行了。

除了原点1个点,其它n-1个点所有的都在-1/2到q-1和0到1/2段,那么概率是q^(n-1)

然后就剩至少一个在q-1到0这段的。
取一个最小值x出来,然后根据x最小值,分段计算。有些段其它的点空间都有p,这就就好算,算每个的长度乘积就行。有些段其它的就只有1/2-x,这时候就算积分就行,也比较简单
的积分。

简单检验一下一些常规点符合:
(1)q=0,p(n)=0符合。
(1)和(2)校验q=1/2的边界点相等。
(3)和(2)校验q=3/4的边界点相等。
(3)q=1,p(n)=1符合。

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