正三角形外一点到三顶点距离为定值问题-大罕

admin 2022-10-26 AM 96℃ 0条

正三角形内一点到三顶点距离为定值,此题前文利用旋转已解决.自然要问:正三角形外一点到三顶点距离为定值,如何解决?

  内外有别吗?
  【问题】正三角形ABC外一点P,已知PA=3,PB=4,PC=5,求△ABC的面积.

  【解答】将△ACP绕点A沿逆时针旋转60°得到△ABE,如图. 则BE=CP=5,

由∠EAP=∠BAC=60°,且EA=PA,知△EAP为正三角形,

  故EP=PA=3,又PB=4,由勾股定理逆定理知∠BPE=90°,∴∠APB=90°-60°=30°,

过点A作AF⊥PB于点F,AF=(1/2)PA=3/2,PF=3√3/2,

  在Rt△AFB中,
  AB^2=AF^2+FB^2=(3/2)^2+(4-3√3/2) ^2=25-12√3,
  ∴正△ABC面积=(√3/4)AB^2=(25√3)/4-9.

  【评论】点P在三角形的“内”与“外”,确实是有别的.虽一字之差,但解决方法均采用旋转法如出一辙.
  比较两个结论:设PA=3,PB=4,PC=5,
  当点P在正△ABC内时,正三角形面积为

(25√3)/4+9,

  当点P在正△ABC外时,正三角形面积为

(25√3)/4-9.

  结果式子中一加一减,如此巧合,颇为有趣.同时,也在“情理”之中.![52973C0B-15C5-4F3D-80A1-C70CDD671871.jpeg][1]

标签: none

非特殊说明,本博所有文章均为博主原创。

评论啦~