正三角形外一点到三顶点距离为定值问题-大罕

正三角形内一点到三顶点距离为定值，此题前文利用旋转已解决．自然要问：正三角形外一点到三顶点距离为定值，如何解决？

  内外有别吗？
  【问题】正三角形ABC外一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5，求△ABC的面积.

  【解答】将△ACP绕点A沿逆时针旋转60°得到△ABE，如图. 则BE=CP=5，

由∠EAP=∠BAC=60°，且EA=PA，知△EAP为正三角形，

  故EP=PA=3，又PB=4，由勾股定理逆定理知∠BPE=90°，∴∠APB=90°-60°=30°，

过点A作AF⊥PB于点F，AF=(1/2)PA=3/2，PF=3√3/2，

  在Rt△AFB中，
  AB^2=AF^2+FB^2=(3/2)^2+(4-3√3/2) ^2=25-12√3，
  ∴正△ABC面积=(√3/4)AB^2=(25√3)/4-9．

  【评论】点P在三角形的“内”与“外”，确实是有别的．虽一字之差，但解决方法均采用旋转法如出一辙．
  比较两个结论：设PA=3，PB=4，PC=5，
  当点P在正△ABC内时，正三角形面积为

(25√3)/4+9，

  当点P在正△ABC外时，正三角形面积为

(25√3)/4-9．

  结果式子中一加一减，如此巧合，颇为有趣．同时，也在“情理”之中．![52973C0B-15C5-4F3D-80A1-C70CDD671871.jpeg][1]