【题目】对正整数n,记I(n)={1,2,3,…,n},P(n)={m/√k|m∈I(n), n∈P(n)} - 大罕

admin 2022-10-29 AM 102℃ 0条

本文适合于高一学生.

  【题目】对正整数n,记I(n)={1,2,3,…,n},P(n)={m/√k|m∈I(n), n∈P(n)},
  ⑴求集合P(7)中元素的个数;
  ⑵若P(n)的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称 为“稀疏集”,求n的最大值,使P(n)能分成两个不相交(即交集为空集)的稀疏集的并.

  【解答】
  ⑴对于集合P(7),I(7)={1,2,3,…,7}.
  当k=1,2,3,5,6,7时,P(7)={m/√k|m∈I(n)}分别有7个元素,计7×6=42个;
 当k=4时,P(7)={m/2|m∈I(n)}={1,2,3,1/2,3/2,5/2,7/2},其中有3个元素1,2,3与k=1时的P(7)重复,计有4个有效元素,
  ∴共有42+4=46个元素.

  ⑵证明:分为两步.
  第一步,证明当n≥15时,P(n)不符合要求:
  不妨设1∈A,则由于1+3=2^2,所以3∉A,即3∈B.同理⇒6∈A,⇒10∈B,⇒15∈A,但1+15=4^2,这与A为稀疏集矛盾. 

  第二步,证明P(14)符合要求:
  ⑴当k=1时,P(14)= {m|m∈I(14)}符合,事实上,取A(1)={1,2,4,6,9,11,13}, B(1)={3,5,7,8,10,12,14}即可.

  ⑵当k=4时,P(14)= {m/2|m∈I(14)} ={1,2,3,4,5,6,7,1/2,3/2,5/2,7/2,9/2,11/2,

13/2},其子集{1/2,3/2,5/2,7/2,9/2,11/2,13/2}符合要求,事实上,取
A(2)={1/2,5/2,9/2,11/2}, B(2)={3/2,7/2,13/2}即可.

   ⑶当k=9时,P(14)= {m/3|m∈I(14)} ={1,2,3,4,1/3,2/3,4/3,5/3,7/3,8/3,10/3,11/3,

13/3,14/3},其子集{1/3,2/3,4/3,5/3,7/3,8/3,10/3,11/3,13/3,14/3}符合要求,事实上,取 A(3)= {1/3,4/3,5/3,10/3,13/3}, B(3)={2/3,7/3,8/3,11/3,14/3},即可.

  ⑷当k≠1,4,9时,在集合P(n)={m/√k|m∈I(14)}中,各数的分母均为无理数,它与其它数之和都非整数,取A=A(1)∪A(2) ∪A(3) ∪C,B=B(1)∪B(2)∪B(3),则A、B符合要求.
  综上,所求的最大值为14.
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