【题目】对正整数n，记I(n)={1,2,3,…,n}，P(n)={m/√k|m∈I(n), n∈P(n)} - 大罕

本文适合于高一学生．

  【题目】对正整数n，记I(n)={1,2,3,…,n}，P(n)={m/√k|m∈I(n), n∈P(n)}，
  ⑴求集合P(7)中元素的个数；
  ⑵若P(n)的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 为“稀疏集”，求n的最大值，使P(n)能分成两个不相交（即交集为空集）的稀疏集的并．

  【解答】
  ⑴对于集合P(7)，I(7)={1,2,3,…,7}．
  当k=1,2,3,5,6,7时，P(7)={m/√k|m∈I(n)}分别有7个元素，计7×6＝42个；
 当k=4时，P(7)={m/2|m∈I(n)}={1,2,3,1/2,3/2,5/2,7/2}，其中有3个元素1,2,3与k=1时的P(7)重复，计有4个有效元素，
  ∴共有42+4＝46个元素.

  ⑵证明：分为两步．
  第一步，证明当n≥15时，P(n)不符合要求：
  不妨设1∈A，则由于1+3=2^2，所以3∉A，即3∈B．同理⇒6∈A，⇒10∈B，⇒15∈A，但1+15=4^2，这与A为稀疏集矛盾． 

  第二步，证明P(14)符合要求：
  ⑴当k=1时，P(14)= {m|m∈I(14)}符合，事实上，取A(1)={1,2,4,6,9,11,13}, B(1)={3,5,7,8,10,12,14}即可．

  ⑵当k=4时，P(14)= {m/2|m∈I(14)} ={1,2,3,4,5,6,7,1/2,3/2,5/2,7/2,9/2,11/2,

13/2}，其子集{1/2,3/2,5/2,7/2,9/2,11/2,13/2}符合要求，事实上，取
A(2)={1/2,5/2,9/2,11/2}, B(2)={3/2,7/2,13/2}即可．

   ⑶当k=9时，P(14)= {m/3|m∈I(14)} ={1,2,3,4,1/3,2/3,4/3,5/3,7/3,8/3,10/3,11/3,

13/3,14/3}，其子集{1/3,2/3,4/3,5/3,7/3,8/3,10/3,11/3,13/3,14/3}符合要求，事实上，取 A(3)= {1/3,4/3,5/3,10/3,13/3}, B(3)={2/3,7/3,8/3,11/3,14/3},即可．

  ⑷当k≠1,4,9时，在集合P(n)={m/√k|m∈I(14)}中，各数的分母均为无理数，它与其它数之和都非整数，取A=A(1)∪A(2) ∪A(3) ∪C,B=B(1)∪B(2)∪B(3)，则A、B符合要求．
  综上，所求的最大值为14．